25~26高三下·内蒙古包头一模·第14题

$\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$

椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$中$a_1^2=4,b_1^2=3$，故$c_1^2=4-3=1$，$c_1=1$，
$\therefore F_1(-1,0),F_2(1,0)$，
由题意可知$c=c_1=1$，且$c^2=a^2+b^2$，
由椭圆定义可得$|MF_1|+|MF_2|=2a_1=4$ ①，
由双曲线定义可得$|MF_2|-|MF_1|=2a$ ②，
联立①②得$|MF_1|=2-a,|MF_2|=2+a$，
由角平分线定理可知，$\dfrac{|MN|}{|NF_2|}=\dfrac{|MF_1|}{|F_1F_2|}=\dfrac{2-a}{2}$，
设$M(x_0,y_0)$，$N$在直线$MF_2$上，由分点比例得$\dfrac{|MN|}{|NF_2|}=-x_0$，
则$-x_0=\dfrac{2-a}{2}$，解得$x_0=\dfrac{a-2}{2}$，
$M$在椭圆上，则$\dfrac{\left(\dfrac{a-2}{2}\right)^2}{4}+\dfrac{y_0^2}{3}=1$，解得$y_0^2=3\left(1-\dfrac{(a-2)^2}{16}\right)$，
$\because |MF_1|=2-a$，
$\therefore \sqrt{(x_0+1)^2+y_0^2}=2-a$，
由$x_0=\dfrac{a-2}{2}$得$x_0+1=\dfrac{a}{2}$，
$\therefore \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+3\left(1-\dfrac{(a-2)^2}{16}\right)=(2-a)^2$，化简得$\dfrac{(a+6)^2}{16}=(2-a)^2$，
$\because a+6>0,2-a>0$，
$\therefore \dfrac{a+6}{4}=2-a$，解得$a=\dfrac{2}{5}$，
$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{5}{2}$.