一个边长为$5$的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有$2$条红色边和$2$条蓝色边，则不同染色的方法数为________.
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矩形染色计数，分类讨论速解
$\boldsymbol{82}$
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①②同色时，矩形$A$另外两边有1种方法染色.
①②不同色时，矩形$A$另外两边有2种方法染色，同理其他区域也一样.
则 (1) ①②③④四边同色，此时共有$\mathrm{C}_2^1=2$种；
(2) 当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有$\mathrm{C}_4^3\mathrm{A}_2^1\times1\times1\times2\times2=32$种；
(3) 当①②③④每两个同色时，此时共有$\mathrm{C}_4^2\mathrm{A}_2^2\times1\times1\times2\times2=48$种.
综上，共有$2+32+48=82$种.
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THE END
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