25~26高三下·陕西安康三模·第14题

$(0, \mathrm{e}]$

由题可得，$\forall x \in (0, +\infty)$, $\dfrac{ax}{\mathrm{e}^{x}} \ge 2\ln a + 2\ln x – 2x + 1$，
由不等式可知$a > 0$，令$t = \dfrac{ax}{\mathrm{e}^{x}}$，则$t’ = \dfrac{a\mathrm{e}^{x} – ax\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}} = \dfrac{a(1 – x)}{\mathrm{e}^{x}}$，
当$x \in (0, 1)$时，$t’ > 0$，$t = \dfrac{ax}{\mathrm{e}^{x}}$单调递增；
当$x \in (1, +\infty)$时， $t’ < 0$，$t = \dfrac{ax}{\mathrm{e}^{x}}$单调递减， 所以$t_{\max} = \dfrac{a}{\mathrm{e}}$， 又$x \to 0$时，$t \to 0$，$x \to +\infty$时，$t \to 0$，所以$t \in \left(0, \dfrac{a}{\mathrm{e}}\right]$. 因为$t = \dfrac{ax}{\mathrm{e}^{x}}$，所以$\ln t = \ln a + \ln x – x$， 所以原不等式等价于$\forall t \in \left(0, \dfrac{a}{\mathrm{e}}\right], t \ge 2\ln t + 1$， 令$g(t) = t – 2\ln t – 1\ (t > 0)$，则$g'(t) = 1 – \dfrac{2}{t} = \dfrac{t – 2}{t}$，
当$t \in (0, 2)$时，$g'(t) < 0$，$g(t)$单调递减； 当$t \in (2, +\infty)$时，$g'(t) > 0$，$g(t)$单调递增，
又$g(1) = 0$，所以要使$g(t) \ge 0$对$\forall t \in \left(0, \dfrac{a}{\mathrm{e}}\right]$成立，
所以$\dfrac{a}{\mathrm{e}} \le 1$，解得$a \le \mathrm{e}$，
又$a > 0$，所以$0 < a \le \mathrm{e}$，即$a$的取值范围为$(0, \mathrm{e}]$.