25~26高三下·杭州高级中学5月月考·第14题

2

以$O$为坐标原点，$OB$所在直线为$x$轴，垂直于$OB$的直线为$y$轴，建立平面直角坐标系，

因为四边形$OADC$是平行四边形，$|OA|=|OD|=1$，则$|OA|=|OD|=|CD|=1$，
设$\triangle OBC$的边长为$a$，显然$a>1$，$B(a,0)$，$C\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)$，
设$D(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right)$，则$\overrightarrow{CD}=\left(\cos\alpha-\dfrac{a}{2},\sin\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)$，
故$\left(\cos\alpha-\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\sin\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2=1$，则$1-a\cos\alpha-\sqrt{3}a\sin\alpha+a^2=1$，
因为$a>1$，所以$a=\cos\alpha+\sqrt{3}\sin\alpha$，
设$A(m,n)$，由$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{OA}=\left(\cos\alpha-\dfrac{a}{2},\sin\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)$，

所以$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|^2$$=\left(\cos\alpha+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\sin\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2$$=1+a\cos\alpha-\sqrt{3}a\sin\alpha+a^2$
$=1+(\cos\alpha+\sqrt{3}\sin\alpha)(\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha)+(\cos\alpha+\sqrt{3}\sin\alpha)^2$
$=1+\cos^2\alpha-3\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+3\sin^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$
$=1+2\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$$=1+1+\cos2\alpha+\sqrt{3}\sin2\alpha$$=2+2\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)$，

因为$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right)$，所以$2\alpha+\dfrac{\pi}{6}\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right)$，
显然当$2\alpha+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，即$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$时，$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|^2=2+2\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)$取得最大值，最大值为$4$.
所以$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最大值为$2$.