已知任意一个正整数$n$，都可以唯一表示为$n = a_0 \times 3^0 + a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2 + \dots + a_m \times 3^m$（$m \in \mathbb{N}$），其中$a_i \in {0, 1, 2}$（$i = 0, 1, 2, \dots, m$），且$a_m \neq 0$.记$f(n) = \sum_{i=0}^{m} a_i$，从集合${x \in \mathbb{N}^* | x \le 1458}$中任取一个元素$n$，则$f(n) \le 2$的概率为______.
数位取值约束，分类枚举巧解题
![图片[1]-数位取值约束，分类枚举巧解题](http://www.xuezizi.com/wp-content/uploads/2026/01/数学彼岸.jpg)
$\dfrac{35}{1458}$
因为$x \le 1458 < 2186 = 3^7 – 1 $$= 2 \times \left(1 + 3^1 + 3^2 + \dots + 3^6\right)$，
所以$m \le 6$.
当$f(n) = 1$时，$n = 3^k$（$0 \le k \le 6$），共$\mathrm{C}_7^1 = 7$个；
当$f(n) = 2$时，$n = 3^k + 3^l$（$0 \le k < l \le 6$），或$n = 2 \times 3^k$（$0 \le k \le 6$），共$\mathrm{C}_7^2 + \mathrm{C}_7^1 = 28$个.
综上，集合${x \in \mathbb{N}^* | x \le 1458}$中符合条件的数共有$35$个，
所以所求概率为$P = \dfrac{35}{1458}$.
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