若实数$x$，$y$满足$x^2 + 2y^2 - 2xy = 1$，则$2x^2 + 2y^2$的最小值为（ ）A．$1$B．$3 - \sqrt{5}$C．$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$D．$2$ ➽答案解析 双变量三角换元法求最值 B 由$x^2 + 2y^2 -...

已知函数$f(x)=k\ln(1+x)+\mathrm{e}^{1-x}(k\in\mathbf{N^*})$，若$y=f(x)$图象上任取三个点均可构成钝角三角形，则$k$的最小值为_____. ➽答案解析 函数三点构钝角，单调性+凹凸性双破局！ $4...

已知平面四边形$ABCD$，$AB = BC = 2$，$CD = 1$，$AD = \sqrt{3}$，$\angle ADC = 90^\circ$，沿直线$AC$将$\triangle ACD$翻折成$\triangle ACD'$，则直线$AC$与直线$BD'$所成角的余弦值最大...

函数对称中心的判定与求解

已知$A,B$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)$的左右顶点，$P_1,P_2,\dots,P_n$是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记$\angle AP_nB = \theta_n$，若{$\overrightarr...

已知抛物线$C:y^2 = 2px(p>0)$的焦点为$F$，$P$为$C$的准线与$x$轴的交点，$M$，$N$在抛物线$C$上，若$\triangle MFP$为等腰直角三角形，$S_{\triangle MFP}=2$，则$\dfrac{|NP|}{|NF|}$的最...

距离等式化双圆，公切线唯一定t值

在$\Delta ABC$中，角$A, B, C$所对的边分别为$a, b, c$，$\angle ABC = 150^\circ$，$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$，且$BD = 1$，则$4a + c$的最小值为_____． ➽答案解析 角平分线+面积...

数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列${a_k^{(0)}}$经过$n$次扩充后的新数列记为${a_k^{(n)}}$，项数记为$P_n$，所有项的和记为$S_n$.现若扩充规则为每...

已知函数$f(x)=a^x-x^a(a>\mathrm{e})$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上的零点个数为______. ➽答案解析 超越函数零点，构造函数求解 $\boldsymbol{2}$ 令$\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则$\varph...