已知实数$a$，$b$满足$\cos a = \sin b$，若对任意实数$c$，$d$，记$(a-c)^2 + (b-d)^2$的最小值为$M$，则$M$的最大值为______. ➽答案解析 用 “点线距离” 巧破三角方程最值难题 $\dfrac{\pi^...

已知圆$O: x^2+y^2=1$，$A$是圆$O$上的一动点，$B(2,0)$，若存在一个半径为$r$的圆与直线$AB$相切于点$B$，圆与圆$x^2+y^2=1$内切，则$r$的最小值为_______. ➽答案解析 双圆内切结合椭圆，妙求...

若函数$f(x) = x^3 + ax + b$有且仅有两个零点，则$a+b^2$的最小值为（ ）A. $-2$ B. $-1$ C. $1$ D. $2$ ➽答案解析 三次函数零点问题，导数破局最小值 B 函数$f(x) = x^3 + ax + b$的定义域为...

已知函数 设$a,b,c$是三个不同的实数，且满足$f(f(a))=f(f(b))=f(f(c))$，则$a+b+c$的最小值为（）A.$\mathrm{e}^2-1$B.$\mathrm{e}-1$C.$\mathrm{e}^2-1+\dfrac{1}{\mathrm{e}}$D.$\mathrm{e}-...

若$b+(3x-1)\ln x\ge ax(a>0)$对$x\in(0,+\infty)$恒成立，则当$\dfrac{b}{a}$取得最小值时，$b=$（ ）A. $\dfrac{1}{3}$B. $1$C. $\dfrac{3}{2}$D. $2$ ➽答案解析 恒成立求最值，导数构造...

已知椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$和双曲线$C_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$有公共焦点$F_1,F_2$（$F_1$为左焦点），$C_1$与$C_2$在第三象限交于点$M$，...

一个边长为$5$的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有$2$条红色边和$2$条蓝色边，则不同染色的方法数为________. ➽答案解析 ...

已知数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=a_2=1$，$a_n=2S_{n-2}+1(n\geqslant3)$，则$S_{49}+S_{50}=$________. ➽答案解析 数列递推巧构造，秒解双 S 和式难题 $\boldsymbol{2^{50}-1}$ 依...

已知函数$f(x)=a^x-x^a(a>\mathrm{e})$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上的零点个数为______. ➽答案解析 超越函数零点，构造函数求解 $\boldsymbol{2}$ 令$\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则$\varph...

如图，在平行四边形$ABCD$中，已知$AB=\sqrt{3}$，$AD=2$，$BD=1$，现将$\triangle ABD$沿$BD$折起，得到三棱锥$A-BCD$，且三棱锥$A-BCD$外接球的表面积为$7\pi$，则$AC=$________. ➽答案解析 ...