一个边长为$5$的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有$2$条红色边和$2$条蓝色边，则不同染色的方法数为________. ➽答案解析 ...

甲有$2$个白球和$1$个黑球，乙有$3$个白球，甲乙两人每次交换$1$个球，经过$5$次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_____. ➽答案解析 概率递推建模，数列巧解交换型概率题 $\dfrac{122}{243}$ ...

题目答案解析 $\sin138^\circ - \cos12^\circ + \sin54^\circ =$______． $\frac{1}{2}$ 【题目】$\sin138^\circ - \cos12^\circ + \sin54^\circ =$______． 【答案】$\frac{1}{2}$ 【解析】因...

三等分点向量拆解，数量积最值一步到位

若$b+(3x-1)\ln x\ge ax(a>0)$对$x\in(0,+\infty)$恒成立，则当$\dfrac{b}{a}$取得最小值时，$b=$（ ）A. $\dfrac{1}{3}$B. $1$C. $\dfrac{3}{2}$D. $2$ ➽答案解析 恒成立求最值，导数构造...

题目答案解析 已知$x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 8$，且$x_1x_2 + y_1y_2 = 4$，则$(x_1 + x_2 - 4\sqrt{2})^2 + (y_1 + y_2 - 8)^2$的最小值为______. $24$ 【题目】已知$x_1^2 + y_1^2 = ...

设实数$q$满足：存在数列${a_n}$，使得对于任意$n\in \mathbf{N}^{*}$，均有$a_1+a_2+\dots+a_{3n}=n^2+n$，且${a_n}$中有某连续9项$a_k,a_{k+1},\dots,a_{k+8}$是公比为$q$的等比数列，则$q$的...

已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$$(a > b > 0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$为双曲线$C$上位于第一象限内的一点，$I$为$\triangle F_1PF_2$的内心，$PI$交$x$轴...

函数$f(x) = x^3 + ax + b$在区间$[1, +\infty)$上存在零点，则$a^2 + b^2$的最小值为______. ➽答案解析 代数转几何，导数+距离公式巧破局！ $\dfrac{1}{2}$ 设$t$为$f(x)$在$[1, +\infty)$上...

绝对值等式转距离，分类讨论定t值