将$1,1,2,2,3,3$六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（）A.$12$B.$30$C.$60$D.$90$ ➽答案解析 重复元素排列,容斥原理巧破不相邻问题！ B 总排列数：$\dfrac{6!}{2! ...

已知集合$M =$ {$1,2,3,\dots,n$}$(n \in \mathbb{N}^*)$，从集合$M$中随机抽取一个数记为$X$，再从$X, X+1, \dots, n$中随机抽取一个数记为$Y$，则$E(Y) =$________. ➽答案解析 双随机抽样求...

指对等式巧变形，同构函数助解题

若函数$f(x) = x^3 + ax + b$有且仅有两个零点，则$a+b^2$的最小值为（ ）A. $-2$ B. $-1$ C. $1$ D. $2$ ➽答案解析 三次函数零点问题，导数破局最小值 B 函数$f(x) = x^3 + ax + b$的定义域为...

垂直线交点轨迹：圆心距+半径，速算最大距离

如图，已知$M$，$N$为双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a > 0,b > 0)$上关于原点$O$对称的两点，点$M$与点$Q$关于$x$轴对称，$\overrightarrow{ME} = \frac{9}{4}\overrightarrow{...

题目答案解析 已知函数$f(x)=\sin ax\tan bx$（$a>0,b>0$），若$f(x)\geq0$恒成立，则$\log_{\sqrt{2}}\frac{a}{1+ab}$的最大值为（ ）A. $-2$B. $-1$C. $1$D. $2$ B 【题目】已知函数$f(...

函数$f(x) = x^3 + ax + b$在区间$[1, +\infty)$上存在零点，则$a^2 + b^2$的最小值为_______. ➽答案解析 参数平方和最值，零点转直线距离巧破局！ $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$ 设$t$为$f(x)$...

已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$$(a > b > 0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$为双曲线$C$上位于第一象限内的一点，$I$为$\triangle F_1PF_2$的内心，$PI$交$x$轴...

已知直线$mx - y - 2m + 1 = 0$与圆$C:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 6$相交于$M$，$N$两点，则$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MC}$的最小值为__. ➽答案解析 向量运算巧转化，圆中最短...