已知圆$O: x^2+y^2=1$，$A$是圆$O$上的一动点，$B(2,0)$，若存在一个半径为$r$的圆与直线$AB$相切于点$B$，圆与圆$x^2+y^2=1$内切，则$r$的最小值为_______. ➽答案解析 双圆内切结合椭圆，妙求...

已知$A,B$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)$的左右顶点，$P_1,P_2,\dots,P_n$是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记$\angle AP_nB = \theta_n$，若{$\overrightarr...

垂直线交点轨迹：圆心距+半径，速算最大距离

已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$的直线分别交双曲线的左、右两支于$A,B$两点，记$\triangle ABF_2$的内切圆的圆心为$I...

题目答案解析 已知$x>0,y<0$，$y - \frac{2}{y}=x - \frac{2}{x} - 2$，则$x - y$的最小值是_____. $4$ 【题目】已知$x>0,y<0$，$y - \frac{2}{y}=x - \frac{2}{x} - 2$，则$x - y$的最小...

已知正实数$x$，$y$满足$\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+4}-2\right)=y$，则$x^2\mathrm{e}^y$的最小值为_____． ➽答案解析 等式变形同构函数，求导得最值 $\frac{\mathrm{e}^2...

已知集合$M =$ {$1,2,3,\dots,n$}$(n \in \mathbb{N}^*)$，从集合$M$中随机抽取一个数记为$X$，再从$X, X+1, \dots, n$中随机抽取一个数记为$Y$，则$E(Y) =$________. ➽答案解析 双随机抽样求...

若正四面体的棱长为$\sqrt{6}$，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为______. ➽答案解析 正四面体外接球，体积法巧求距离和最大值！ $4$ 已知正四面体$ABCD$的外接球为球$O...

设$a,b,c \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，且$a = \cos a$，$b = \sin(\cos b)$，$c = \cos(\sin c)$，则它们的大小关系为（ ）A.$b < a < c$B.$c < a < b$C.$c < b < a...

方格填数游戏:数位方程拆分，分步计数得解