已知$a_1,a_2,\dots,a_8$是$8$个正整数，记$S = ${$a_{i_1}+a_{i_2}+\dots+a_{i_7}\mid 1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_7 \le 8$}，其中$i_1,i_2,\dots,i_7 \in \mathbb{N}^*$，若$S = {...

设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(f(x)) + f(f(y))$$= f(x+y) + 3$，若$y = f(x)$的图象与$x$轴相交于点$P(x_0,0)$，则（ ）A.$x_0 = 0$B.$f(1) = 3$C.$f(x+1)$是奇函数D.$f(x-1)$是奇函...

如图，$O$ 为坐标原点，$ F_1,F_2 $ 为椭圆 $ C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 $的两个焦点，过 $ F_1,F_2 $ 分别作椭圆 $ C $ 的切线 $ l $ 的垂线，垂足分别为 $ H_1,H_2 $.当 $ OH_1 \perp OH_2 ...

导数奇偶锁对称，指对互化比大小

已知$f(x) = 1 + \log_3 x(1 \leq x \leq 9)$，设$g(x) = f^2(x) + f(x^2)$，则函数$y = g(x)$的值域为_______． ➽答案 解析 $[2, 7]$ 由题意得$\begin{cases} 1 \leq x \leq 9 \\ 1 \leq x^2 ...

双曲线与圆综合:切线性质+中位线,巧算长度差

数列个数问题

若函数$f(x) = x^3 + ax + b$有且仅有两个零点，则$a+b^2$的最小值为（ ）A. $-2$ B. $-1$ C. $1$ D. $2$ ➽答案解析 三次函数零点问题，导数破局最小值 B 函数$f(x) = x^3 + ax + b$的定义域为...

已知函数$f(x) = x\mathrm{e}^x$，$g(x) = \mathrm{e}x(1 + \ln x)$，若$f(x_1) = g(x_2) = m$，$m > 0$，则$\dfrac{\ln m}{x_1x_2}$的最大值为（ ）A.$\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$B.$1$C.$2$D...

已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$的直线分别交双曲线的左、右两支于$A,B$两点，记$\triangle ABF_2$的内切圆的圆心为$I...