如图，$O$ 为坐标原点，$ F_1,F_2 $ 为椭圆 $ C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 $的两个焦点，过 $ F_1,F_2 $ 分别作椭圆 $ C $ 的切线 $ l $ 的垂线，垂足分别为 $ H_1,H_2 $.当 $ OH_1 \perp OH_2 ...

数列个数问题

中线比例定重心，柯西不等式锁最值

函数$f(x) = x^3 + ax + b$在区间$[1, +\infty)$上存在零点，则$a^2 + b^2$的最小值为_______. ➽答案解析 参数平方和最值，零点转直线距离巧破局！ $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$ 设$t$为$f(x)$...

已知$a_1,a_2,\dots,a_8$是$8$个正整数，记$S = ${$a_{i_1}+a_{i_2}+\dots+a_{i_7}\mid 1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_7 \le 8$}，其中$i_1,i_2,\dots,i_7 \in \mathbb{N}^*$，若$S = {...

零点背后的函数性质密码

设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(f(x)) + f(f(y))$$= f(x+y) + 3$，若$y = f(x)$的图象与$x$轴相交于点$P(x_0,0)$，则（ ）A.$x_0 = 0$B.$f(1) = 3$C.$f(x+1)$是奇函数D.$f(x-1)$是奇函...

垂直线交点轨迹：圆心距+半径，速算最大距离

题目答案解析 已知函数$f(x)=\sin ax\tan bx$（$a>0,b>0$），若$f(x)\geq0$恒成立，则$\log_{\sqrt{2}}\frac{a}{1+ab}$的最大值为（ ）A. $-2$B. $-1$C. $1$D. $2$ B 【题目】已知函数$f(...

已知集合$M =$ {$1,2,3,\dots,n$}$(n \in \mathbb{N}^*)$，从集合$M$中随机抽取一个数记为$X$，再从$X, X+1, \dots, n$中随机抽取一个数记为$Y$，则$E(Y) =$________. ➽答案解析 双随机抽样求...